№ 20. Вычислить определенный интеграл: ∫_{-1}^{3} x³ dx

Решение:

Сначала найдём первообразную для функции \( x^3 \).

По правилу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), первообразная \( F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{-1}^{3} x^3 dx = F(3) - F(-1) \)

\( F(3) = \frac{3^4}{4} = \frac{81}{4} \).

\( F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} \).

\( \int_{-1}^{3} x^3 dx = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20 \).

Ответ: 20