№ 19. Вычислить неопределенный интеграл: ∫(3/√x - 5/x³) dx

Решение:

Перепишем подынтегральное выражение, используя степени:

\( \int (3x^{-1/2} - 5x^{-3}) dx \)

Теперь проинтегрируем по правилу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (при \( n
e -1 \)).

\( \int 3x^{-1/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 3 \cdot 2 x^{1/2} = 6\sqrt{x} \).

\( \int 5x^{-3} dx = 5 \cdot \frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} = 5 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{5}{2} x^{-2} = -\frac{5}{2x^2} \).

Объединяем результаты:

\( \int (3x^{-1/2} - 5x^{-3}) dx = 6\sqrt{x} - \left(-\frac{5}{2x^2}\right) + C = 6\sqrt{x} + \frac{5}{2x^2} + C \).

Ответ: $$6\sqrt{x} + \frac{5}{2x^2} + C$$