15. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 4, а медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника. Варианты: 1) 10; 2) 18; 3) 12; 4) 15; 5) 24.

Расположим основание длиной 4 горизонтально. Пусть высота треугольника равна \(h\). Векторы медиан, проведенных к боковым сторонам, можно записать как \((3,\frac h2)\) и \((-3,\frac h2)\).

Их скалярное произведение равно нулю:

\[-9+\frac{h^2}{4}=0.\]

Следовательно, \(h=6\). Тогда площадь:

\[S=\frac12\cdot4\cdot6=12.\]

Ответ: 3) 12.