16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости xy задаётся формулами x′ = x, y′ = y, z′ = −z.

Плоскость xy задаётся условием z = 0. При симметрии относительно неё точка и её образ имеют одинаковые координаты x и y, поскольку проекция на плоскость не меняется. Их координаты z противоположны: плоскость xy должна быть серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с образом.

Следовательно, для точки (x; y; z) образ имеет координаты (x; y; −z), то есть \(x'=x,\ y'=y,\ z'=-z\). Что и требовалось доказать.