16. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 122°. Длина меньшей дуги АВ равна 61. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Центральный угол \( \angle AOB = 122° \).

Длина меньшей дуги \( AB \) равна 61.

Длина всей окружности соответствует полному углу в 360°.

Отношение длины дуги к длине всей окружности равно отношению центрального угла, соответствующего этой дуге, к 360°.

Пусть \( C \) — длина всей окружности.

\( \frac{\text{Длина меньшей дуги } AB}{C} = \frac{\angle AOB}{360°} \)

\( \frac{61}{C} = \frac{122°}{360°} \)

Выразим \( C \):

\( C = 61 \cdot \frac{360°}{122°} \)

\( C = 61 \cdot \frac{360}{122} \)

\( C = 61 \cdot \frac{180}{61} \)

\( C = 180 \)

Длина большей дуги \( AB \) равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги:

Длина большей дуги \( AB = C - \text{Длина меньшей дуги } AB \)

Длина большей дуги \( AB = 180 - 61 \)

Длина большей дуги \( AB = 119 \)

Ответ: 119.