167. Выполните подстановку и упростите полученное выражение: а) $\dfrac{a+b}{a-b}$, если $a=\dfrac{1}{1-x}$, $b=\dfrac{1}{1+x}$; б) $\dfrac{ax}{a+x}-\dfrac{bx}{b-x}$, если $x=\dfrac{ab}{a-b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 167. Выполните подстановку и упростите полученное выражение: а) $\dfrac{a+b}{a-b}$, если $a=\dfrac{1}{1-x}$,…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Подставим выражения для $a$ и $b$: $\dfrac{\frac1{1-x}+\frac1{1+x}}{\frac1{1-x}-\frac1{1+x}}=\dfrac{2/(1-x^2)}{2x/(1-x^2)}=\dfrac1x$. Необходимые ограничения: $x\ne1$, $x\ne-1$, а также $a-b\ne0$, то есть $x\ne0$.
б) При $x=\dfrac{ab}{a-b}$ имеем $a+x=\dfrac{a^2}{a-b}$, поэтому $\dfrac{ax}{a+x}=b$. Также $b-x=-\dfrac{b^2}{a-b}$, поэтому $\dfrac{bx}{b-x}=-a$. Значит, разность равна $b-(-a)=a+b$. Здесь требуется $a\ne b$, $a\ne0$, $b\ne0$.

167. Выполните подстановку и упростите полученное выражение: а) \(\dfrac{a+b}{a-b}\), если \(a=\dfrac{1}{1-x}\), \(b=\dfrac{1}{1+x}\); б) \(\dfrac{ax}{a+x}-\dfrac{bx}{b-x}\), если \(x=\dfrac{ab}{a-b}\).