169. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: а) \(\dfrac{1}{3-\dfrac{1}{x-2}}\); б) \(\dfrac{6x}{2+\dfrac{1}{x+8}}\)? 1) Обсудите, о каких значениях переменной \(x\) в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения \(x\), которые не являются допустимыми? 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

Значения, при которых нулём становится знаменатель, исключаем. Сразу видны ограничения: в а) \(x\ne2\), в б) \(x\ne-8\), поскольку тогда исчезает знаменатель внутренней дроби.

1. а) Кроме \(x=2\), исключаем значения, при которых внешний знаменатель равен нулю: \(3-\dfrac1{x-2}=0\). Тогда \(3(x-2)=1\), откуда \(x=\dfrac73\). Область допустимых значений: все действительные \(x\), кроме \(2\) и \(\dfrac73\).
2. б) Решаем уравнение для внешнего знаменателя: \(2+\dfrac1{x+8}=0\). Получаем \(2(x+8)+1=0\), откуда \(x=-\dfrac{17}{2}\). Область допустимых значений: все действительные \(x\), кроме \(-8\) и \(-\dfrac{17}{2}\).
3. Для проверки преобразований нужно проверить каждый знаменатель исходного выражения и убедиться, что все найденные исключения учтены. Работа другого ученика на фото не приведена, поэтому проверить её конкретные преобразования нельзя.