18) \( \frac{(a^{5n} \cdot a^2)}{a^3} : a^{10} = a^4 \)

Решение:

1. Упрощаем выражение в скобках в числителе: \( a^{5n} \cdot a^2 = a^{5n+2} \).
2. Дробь становится: \( \frac{a^{5n+2}}{a^3} = a^{(5n+2)-3} = a^{5n-1} \).
3. Левая часть уравнения становится: \( a^{5n-1} : a^{10} \).
4. Используем свойство степени \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( a^{(5n-1)-10} = a^{5n-11} \).
5. Получаем равенство: \( a^{5n-11} = a^4 \).
6. Приравниваем показатели степеней: \( 5n - 11 = 4 \).
7. Решаем уравнение: \( 5n = 4 + 11 \).
8. \( 5n = 15 \).
9. \( n = \frac{15}{5} \).
10. \( n = 3 \).

Ответ: n = 3