19) \( \frac{(a^{20} \cdot a^4)}{ (a^2)^2 } : a^{4n} = a^{12} \)

Решение:

1. Упрощаем числитель первой дроби: \( a^{20} \cdot a^4 = a^{20+4} = a^{24} \).
2. Упрощаем знаменатель первой дроби: \( (a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4 \).
3. Первая дробь становится: \( \frac{a^{24}}{a^4} = a^{24-4} = a^{20} \).
4. Левая часть уравнения становится: \( a^{20} : a^{4n} \).
5. Используем свойство степени \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( a^{20-4n} = a^{12} \).
6. Приравниваем показатели степеней: \( 20 - 4n = 12 \).
7. Решаем уравнение: \( 4n = 20 - 12 \).
8. \( 4n = 8 \).
9. \( n = \frac{8}{4} \).
10. \( n = 2 \).

Ответ: n = 2