18) На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ДАОВ = 45°. Длина меньшей дуги АВ равна 91. Найдите длину большей дуги.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол, опирающийся на дугу.

Длина меньшей дуги АВ равна 91 и соответствует центральному углу \( \angle AOB = 45^{\circ} \).

\( 91 = \frac{\pi R \cdot 45^{\circ}}{180^{\circ}} \)

\( 91 = \frac{\pi R}{4} \)

\( R = \frac{91 \cdot 4}{\pi} = \frac{364}{\pi} \).

Длина всей окружности равна \( C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot \frac{364}{\pi} = 728 \).

Длина большей дуги АВ равна разности полной длины окружности и длины меньшей дуги:

\( L_{большая} = C - L_{меньшая} = 728 - 91 = 637 \).

Ответ: 637.