18. Пусть в треугольнике против его сторон a и b лежат углы α и β. Докажите, что длину c его третьей стороны можно найти по формуле c = a · cos β + b · cos α. Будет ли эта формула верна в случае, когда один из углов α или β тупой?

Опустим высоты из концов стороны c на прямую, содержащую сторону c. Проекции сторон a и b на эту прямую равны соответственно a · cos β и b · cos α.

Их сумма с учётом направления равна c: проекция может быть отрицательной, если соответствующий угол тупой. Поэтому c = a · cos β + b · cos α.

Формула верна и тогда, когда α или β — тупой угол: косинус такого угла отрицателен, что правильно учитывает направленную проекцию.