27. Сторона квадрата ABCD равна 1. На стороне AD взяли точку E так, что угол ∠ECD = α. На CE опустили перпендикуляр BH. Найдите площадь треугольника ABH. (рис.)

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,1)\), \(C(1,1)\), \(D(1,0)\). Обозначим \(t=1-x_E\), где \(x_E\) — абсцисса точки E. Из прямоугольного треугольника с вершиной C следует \(t=\tan\alpha\).

Направляющий вектор прямой CE можно взять \((-t,-1)\). Проекция вектора \(\overrightarrow{CB}=(-1,0)\) на него имеет коэффициент \(\dfrac{t}{1+t^2}\). Поэтому абсцисса точки H равна \(x_H=1-\dfrac{t^2}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}=\cos^2\alpha\).

За основание треугольника ABH возьмём AB длины 1; высота к нему равна расстоянию H до прямой AB, то есть \(x_H\). Значит, \(S_{ABH}=\dfrac12\cos^2\alpha\).

Ответ: \(\dfrac{\cos^2\alpha}{2}\).