23. Окружность радиусом R с центром O касается сторон угла в точках A и B. Найдите площадь треугольника AOB, если данный угол равен α.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла. Поэтому углы при A и B в треугольнике AOB прямые, а центральный угол равен \(\angle AOB=180^\circ-\alpha\).

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{AOB}=\dfrac12 R^2\sin(180^\circ-\alpha)=\dfrac{R^2\sin\alpha}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{R^2\sin\alpha}{2}\).