22. Угол при основании равнобедренного треугольника равен α. Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к его высоте, проведённой к основанию.

Пусть высота к основанию равна h. Она делит основание пополам. В одном из полученных прямоугольных треугольников половина основания равна \(h\cot\alpha\), а боковая сторона — \(\dfrac{h}{\sin\alpha}\).

Площадь исходного треугольника равна \(h^2\cot\alpha\), а его полупериметр — \(h\cot\alpha+\dfrac{h}{\sin\alpha}\). Используем равенство \(S=rp\):

\(\dfrac{r}{h}=\dfrac{\cot\alpha}{\cot\alpha+1/\sin\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\).

Ответ: \(\dfrac{r}{h}=\dfrac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\).