19.1. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение задачи 19.1

Для начала, давай разберёмся, что такое равнобедренная трапеция. Это такая трапеция, у которой боковые стороны равны, и углы при каждом основании равны. Нам даны длины оснований: 4 и 8. Также известен угол между боковой стороной и основанием — 45°.

Площадь трапеции находится по формуле: S = (a + b) / 2 * h, где a и b — основания, а h — высота.

Нам нужно найти высоту. Для этого проведём две высоты из вершин меньшего основания к большему. Получится прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника по бокам.

Длина большего основания равна 8, а меньшего — 4. Разница между основаниями (8 - 4 = 4) делится пополам между двумя треугольниками. Значит, основание каждого прямоугольного треугольника равно 4 / 2 = 2.

В каждом из этих треугольников один угол равен 45°. Так как это прямоугольный треугольник, то второй острый угол будет 90° - 45° = 45°. Получается, что треугольники равнобедренные, и их катеты равны. Значит, высота трапеции равна основанию этого треугольника, то есть 2.

Теперь у нас есть всё для расчёта площади:

• Основания: a = 4, b = 8
• Высота: h = 2

Подставляем в формулу площади:

\[ S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12 \]

Ответ: 12