19.2. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение задачи 19.2

Опять у нас равнобедренная трапеция! Основания: 2 и 8. Угол между боковой стороной и основанием: 45°.

Формула площади трапеции: S = (a + b) / 2 * h.

Проводим высоты из вершин меньшего основания (2) к большему (8). Получаем прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Разница между основаниями: 8 - 2 = 6. Эта разница делится поровну между двумя треугольниками. Значит, основание каждого прямоугольного треугольника равно 6 / 2 = 3.

Угол в каждом треугольнике равен 45°. Так как треугольник прямоугольный, второй острый угол тоже 45°. Это значит, что треугольник равнобедренный. Следовательно, высота трапеции равна основанию этого треугольника, то есть 3.

Теперь считаем площадь:

• Основания: a = 2, b = 8
• Высота: h = 3

Подставляем в формулу:

\[ S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \]

Ответ: 15