19. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Решение:

Общее число мест за столом: \( 11 \).

Количество мальчиков: \( 9 \).

Количество девочек: \( 2 \).

Общее количество способов рассадить 11 человек на 11 стульев равно \( 11! \).

Чтобы девочки оказались на соседних местах, будем рассматривать их как единый блок. Этот блок можно расположить на \( 11 \) местах (например, места 1-2, 2-3, ..., 11-1).

Внутри этого блока девочки могут поменяться местами: \( 2! \) способами.

Оставшиеся \( 9 \) мальчиков можно рассадить на оставшиеся \( 9 \) мест \( 9! \) способами.

Количество благоприятных исходов (девочки на соседних местах): \( 11 \) (позиций для блока) \( \times 2! \) (перестановка девочек) \( \times 9! \) (рассадка мальчиков) = \( 11 \times 2 \times 9! \).

Вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах:

\[ P(\text{девочки рядом}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{11 \times 2 \times 9!}{11!} = \frac{11 \times 2 \times 9!}{11 \times 10 \times 9!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( \frac{1}{5} \)