22. За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.

Решение:

Общее число мест за столом: \( 21 \).

Количество мальчиков: \( 19 \).

Количество девочек: \( 2 \).

Общее количество способов рассадить 21 человека на 21 стул равно \( 21! \).

Чтобы девочки оказались на соседних местах, будем рассматривать их как единый блок. Этот блок можно расположить на \( 21 \) месте.

Внутри этого блока девочки могут поменяться местами: \( 2! \) способами.

Оставшиеся \( 19 \) мальчиков можно рассадить на оставшиеся \( 19 \) мест \( 19! \) способами.

Количество благоприятных исходов (девочки на соседних местах): \( 21 \) (позиций для блока) \( \times 2! \) (перестановка девочек) \( \times 19! \) (рассадка мальчиков) = \( 21 \times 2 \times 19! \).

Вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах:

\[ P(\text{девочки рядом}) = \frac{21 \times 2 \times 19!}{21!} = \frac{21 \times 2 \times 19!}{21 \times 20 \times 19!} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \]

Вероятность того, что девочки НЕ окажутся на соседних местах:

\[ P(\text{девочки не рядом}) = 1 - P(\text{девочки рядом}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \]

Ответ: \( \frac{9}{10} \)