2.1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Диагональ разбивает углы параллелограмма.

Пусть \( ∠ ABD = 50^\circ \) и \( ∠ BDC = 65^\circ \).

В параллелограмме \( AB ‖ CD \), поэтому \( ∠ ABD = ∠ BDC \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) секущей \( BD \). Это противоречие, так как 50° \( ≠ \) 65°.

Рассмотрим другой случай: \( ∠ ADB = 50^\circ \) и \( ∠ DBC = 65^\circ \).

В параллелограмме \( AD ‖ BC \), поэтому \( ∠ ADB = ∠ DBC \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) секущей \( BD \). Это тоже противоречие.

Рассмотрим случай, когда углы образуются с разными сторонами.

Пусть \( ∠ BDA = 65^\circ \) и \( ∠ ABD = 50^\circ \).

Тогда в \( △ ABD \): \( ∠ BAD = 180^\circ - 65^\circ - 50^\circ = 65^\circ \).

Так как \( ∠ BAD \) — это угол параллелограмма, то меньший угол параллелограмма равен 65°.

Но тогда \( ∠ BCD = 65^\circ \). Сумма углов параллелограмма равна 360°.

\( ∠ ABC = ∠ ADC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).

Проверим углы, которые образует диагональ BD с другими сторонами.

\( ∠ DBC = ∠ ADB = 65^\circ \) (накрест лежащие).

\( ∠ CDB = 180^\circ - ∠ BDA - ∠ BDC \). У нас нет \( ∠ BDC \).

Из \( ∠ ABC = 115^\circ \), имеем \( ∠ ABD + ∠ DBC = 115^\circ \). Если \( ∠ ABD = 50^\circ \), то \( ∠ DBC = 115^\circ - 50^\circ = 65^\circ \).

Это совпадает с \( ∠ ADB = 65^\circ \) как накрест лежащие при \( AD ‖ BC \) и секущей \( BD \).

Таким образом, углы параллелограмма равны 65° и 115°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65