2. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 7, AD = 9, AC = 32. Найдите AO.

В трапеции ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (вертикальные углы при O равны, и внутренние накрест лежащие углы при параллельных основаниях BC и AD равны). Следовательно, отношение сходственных сторон треугольников равно: \(\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}\). Известно, что \(BC=7\) и \(AD=9\), значит \(\frac{CO}{AO} = \frac{7}{9}\). \\Также известно, что \(AC=32\), а \(AC = AO + OC\). Выразим \(CO = AC - AO\), то есть \(CO = 32 - AO\). Подставим это в отношение сторон: \(\frac{32-AO}{AO} = \frac{7}{9}\). Решаем уравнение: \\ \(9 * (32 - AO) = 7 * AO\) \\ \(288 - 9AO = 7AO\) \\ \(288 = 16AO\) \\ \(AO = \frac{288}{16} = 18\).\\Ответ: AO = 18