2. Докажите свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Проведем биссектрису BL к основанию AC. По определению биссектрисы, угол ABL равен углу CBL.

Рассмотрим треугольники ABL и CBL:

• AB = BC (по условию, т.к. треугольник равнобедренный)
• ∠ABL = ∠CBL (по построению, т.к. BL - биссектриса)
• BL - общая сторона.

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), треугольники ABL и CBL равны.

Из равенства треугольников следует:

• AL = LC (стороны напротив равных углов ∠CBL и ∠ABL). Это означает, что BL является медианой.
• ∠BLA = ∠BLC. Так как эти углы смежные, то их сумма равна 180°. Следовательно, ∠BLA = ∠BLC = 180° / 2 = 90°. Это означает, что BL является высотой.

Таким образом, биссектриса BL, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.