2) Касательные в точках М и N окружности с центром О пересекаются под углом 35 градусов. Найдите угол О?

Решение:

Пусть точки касания — \( M \) и \( N \), а точка пересечения касательных — \( P \). Угол между касательными \( \angle MPN = 35^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник \( OMPN \). Углы \( \angle OMP \) и \( \angle ONP \) — прямые, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным.

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).

\[ \angle MON + \angle OMP + \angle MPN + \angle ONP = 360^{\circ} \]\[ \angle MON + 90^{\circ} + 35^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]\[ \angle MON + 215^{\circ} = 360^{\circ} \]\[ \angle MON = 360^{\circ} - 215^{\circ} \]\[ \angle MON = 145^{\circ} \]

Ответ: Угол О равен 145 градусов.