2. Найдите точку минимума функции у = х³ - 4x² + 4х + 7.

Краткое пояснение:

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо вычислить её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить, в какой из найденных точек происходит смена знака производной с отрицательного на положительный.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции $$ y = x^3 - 4x^2 + 4x + 7 $$.
   $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2 + 4x + 7) = 3x^2 - 8x + 4 $$.
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю: $$ 3x^2 - 8x + 4 = 0 $$.
3. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4  3  4 = 64 - 48 = 16 $$.
   Найдем корни:
   $$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2  3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$.
   $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2  3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2 $$.
4. Шаг 4: Определяем знак производной на интервалах, образованных корнями $$ x = \frac{2}{3} $$ и $$ x = 2 $$.
   Возьмем $$ x=0 $$: $$ y'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 4 = 4 $$ (функция возрастает).
   Возьмем $$ x=1 $$: $$ y'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1 $$ (функция убывает).
   Возьмем $$ x=3 $$: $$ y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 $$ (функция возрастает).
   Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $$ x=2 $$.

Ответ: $$ x=2 $$