4. Найдите наименьшее значение функции у = (2/3)x√x - 3x + 7 на отрезке [0; 13].

Краткое пояснение:

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо найти производную функции, определить критические точки, вычислить значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на концах отрезка, а затем выбрать наименьшее значение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем функцию: $$ y = \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 7 $$.
2. Шаг 2: Найдем производную функции:
   $$ y' = \frac{d}{dx}(\frac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 7) = \frac{2}{3}  \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = x^{1/2} - 3 = \sqrt{x} - 3 $$.
3. Шаг 3: Приравняем производную к нулю: $$ \sqrt{x} - 3 = 0 $$.
4. Шаг 4: Решим уравнение:
   $$ \sqrt{x} = 3 $$
   $$ x = 3^2 $$
   $$ x = 9 $$.
5. Шаг 5: Определим, попадает ли критическая точка $$ x=9 $$ в заданный отрезок $$ [0; 13] $$. Да, попадает.
6. Шаг 6: Вычислим значения функции в критической точке $$ x=9 $$ и на концах отрезка $$ x=0 $$ и $$ x=13 $$.
   $$ y(0) = \frac{2}{3}(0)\sqrt{0} - 3(0) + 7 = 7 $$.
   $$ y(9) = \frac{2}{3}(9)\sqrt{9} - 3(9) + 7 = \frac{2}{3}  9  3 - 27 + 7 = 2  9 - 27 + 7 = 18 - 27 + 7 = -2 $$.
   $$ y(13) = \frac{2}{3}(13)\sqrt{13} - 3(13) + 7 = \frac{26\sqrt{13}}{3} - 39 + 7 = \frac{26\sqrt{13}}{3} - 32 $$.
   Приближенное значение $$ \sqrt{13} \approx 3.6 $$.
   $$ y(13) \approx \frac{26  3.6}{3} - 32 \approx \frac{93.6}{3} - 32 \approx 31.2 - 32 = -0.8 $$.
7. Шаг 7: Сравним полученные значения: $$ 7, -2, \frac{26\sqrt{13}}{3} - 32 $$. Наименьшее значение — $$ -2 $$.

Ответ: -2