9. Найдите точку минимума функции у = x³ - 12x² + 11.

Краткое пояснение:

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить, в какой из найденных точек происходит смена знака производной с отрицательного на положительный.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции $$ y = x^3 - 12x^2 + 11 $$.
   $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x^2 + 11) = 3x^2 - 24x $$.
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю: $$ 3x^2 - 24x = 0 $$.
3. Шаг 3: Решаем уравнение:
   $$ 3x(x - 8) = 0 $$.
   Это дает $$ x = 0 $$ или $$ x - 8 = 0 $$, то есть $$ x = 8 $$.
4. Шаг 4: Определяем знак производной на интервалах, образованных корнями $$ x = 0 $$ и $$ x = 8 $$.
   Возьмем $$ x = -1 $$: $$ y'(-1) = 3(-1)^2 - 24(-1) = 3 + 24 = 27 $$ (функция возрастает).
   Возьмем $$ x = 1 $$: $$ y'(1) = 3(1)^2 - 24(1) = 3 - 24 = -21 $$ (функция убывает).
   Возьмем $$ x = 9 $$: $$ y'(9) = 3(9)^2 - 24(9) = 3(81) - 216 = 243 - 216 = 27 $$ (функция возрастает).
   Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $$ x=8 $$. Значит, $$ x=8 $$ — точка минимума. В точке $$ x=0 $$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Ответ: $$ x=8 $$