5. Найдите наибольшее значение функции у = 3х⁵ – 20x³ + 6 на отрезке [-7; 0].

Краткое пояснение:

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, необходимо найти производную функции, определить критические точки, вычислить значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на концах отрезка, а затем выбрать наибольшее значение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции $$ y = 3x^5 - 20x^3 + 6 $$.
   $$ y' = \frac{d}{dx}(3x^5 - 20x^3 + 6) = 15x^4 - 60x^2 $$.
2. Шаг 2: Приравняем производную к нулю: $$ 15x^4 - 60x^2 = 0 $$.
3. Шаг 3: Решим уравнение:
   $$ 15x^2(x^2 - 4) = 0 $$.
   Это дает $$ x^2 = 0 $$ или $$ x^2 - 4 = 0 $$.
   Отсюда $$ x = 0 $$ или $$ x =  2 $$ или $$ x = 2 $$.
4. Шаг 4: Определим, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $$ [-7; 0] $$.
   Критические точки $$ x=0 $$ и $$ x=-2 $$ попадают в отрезок. Точка $$ x=2 $$ не попадает.
5. Шаг 5: Вычислим значения функции в критических точках $$ x=0, x=-2 $$ и на конце отрезка $$ x=-7 $$.
   $$ y(0) = 3(0)^5 - 20(0)^3 + 6 = 6 $$.
   $$ y(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 + 6 = 3(-32) - 20(-8) + 6 = -96 + 160 + 6 = 70 $$.
   $$ y(-7) = 3(-7)^5 - 20(-7)^3 + 6 = 3(-16807) - 20(-343) + 6 = -50421 + 6860 + 6 = -43555 $$.
6. Шаг 6: Сравним полученные значения: $$ 6, 70, -43555 $$. Наибольшее значение — $$ 70 $$.

Ответ: 70