8. Найдите точку максимума функции у = x⁵ + 15x³ – 260x.

Краткое пояснение:

Чтобы найти точку максимума функции, необходимо вычислить её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить, в какой из найденных точек происходит смена знака производной с положительного на отрицательный.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции $$ y = x^5 + 15x^3 - 260x $$.
   $$ y' = \frac{d}{dx}(x^5 + 15x^3 - 260x) = 5x^4 + 45x^2 - 260 $$.
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю: $$ 5x^4 + 45x^2 - 260 = 0 $$.
3. Шаг 3: Разделим уравнение на 5: $$ x^4 + 9x^2 - 52 = 0 $$.
4. Шаг 4: Сделаем замену переменной: пусть $$ t = x^2 $$. Тогда уравнение примет вид: $$ t^2 + 9t - 52 = 0 $$.
5. Шаг 5: Решаем квадратное уравнение относительно $$ t $$. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4  1  (-52) = 81 + 208 = 289 $$.
   Найдем корни:
   $$ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{289}}{2  1} = \frac{-9 - 17}{2} = \frac{-26}{2} = -13 $$.
   $$ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{289}}{2  1} = \frac{-9 + 17}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$.
6. Шаг 6: Возвращаемся к замене: $$ x^2 = t $$.
   $$ x^2 = -13 $$ (нет действительных решений).
   $$ x^2 = 4 ⇒ x =  2 $$ или $$ x = 2 $$.
7. Шаг 7: Определяем знак производной на интервалах, образованных корнями $$ x = -2 $$ и $$ x = 2 $$.
   Возьмем $$ x = -3 $$: $$ y'(-3) = 5(-3)^4 + 45(-3)^2 - 260 = 5(81) + 45(9) - 260 = 405 + 405 - 260 = 550 $$ (функция возрастает).
   Возьмем $$ x = 0 $$: $$ y'(0) = 5(0)^4 + 45(0)^2 - 260 = -260 $$ (функция убывает).
   Возьмем $$ x = 3 $$: $$ y'(3) = 5(3)^4 + 45(3)^2 - 260 = 5(81) + 45(9) - 260 = 405 + 405 - 260 = 550 $$ (функция возрастает).
   Производная меняет знак с плюса на минус в точке $$ x=-2 $$. Значит, $$ x=-2 $$ — точка максимума. Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $$ x=2 $$. Значит, $$ x=2 $$ — точка минимума.

Ответ: $$ x = -2 $$