6. Найдите наибольшее значение функции у = (-2/3)x√x + 3x + 1 на отрезке [1;9].

Краткое пояснение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, необходимо вычислить её производную, найти критические точки, вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка, а затем выбрать наибольшее из полученных значений.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим функцию в виде $$ y = -\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1 $$.
2. Шаг 2: Найдем производную функции:
   $$ y' = \frac{d}{dx}(-\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1) = -\frac{2}{3}  \frac{3}{2}x^{1/2} + 3 = -x^{1/2} + 3 = -\sqrt{x} + 3 $$.
3. Шаг 3: Приравняем производную к нулю: $$ -\sqrt{x} + 3 = 0 $$.
4. Шаг 4: Решим уравнение:
   $$ \sqrt{x} = 3 $$
   $$ x = 3^2 $$
   $$ x = 9 $$.
5. Шаг 5: Определим, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $$ [1; 9] $$.
   Критическая точка $$ x=9 $$ является концом отрезка.
6. Шаг 6: Вычислим значения функции на концах отрезка $$ x=1 $$ и $$ x=9 $$.
   $$ y(1) = -\frac{2}{3}(1)\sqrt{1} + 3(1) + 1 = -\frac{2}{3} + 3 + 1 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{12-2}{3} = \frac{10}{3} $$.
   $$ y(9) = -\frac{2}{3}(9)\sqrt{9} + 3(9) + 1 = -\frac{2}{3}  9  3 + 27 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10 $$.
7. Шаг 7: Сравним полученные значения: $$ \frac{10}{3} $$ и $$ 10 $$. Наибольшее значение — $$ 10 $$.

Ответ: 10