3. Найдите наименьшее значение функции у = х³ – 3х + 23 на отрезке [0;2].

Краткое пояснение:

Наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться либо в точке минимума внутри отрезка, либо на одном из его концов. Для этого нужно найти производную, критические точки, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем выбрать наименьшее.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции $$ y = x^3 - 3x + 23 $$.
   $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 23) = 3x^2 - 3 $$.
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю: $$ 3x^2 - 3 = 0 $$.
3. Шаг 3: Решаем уравнение:
   $$ 3x^2 = 3 $$
   $$ x^2 = 1 $$
   $$ x =  1, x = 1 $$.
4. Шаг 4: Определяем, какие из критических точек попадают в заданный отрезок $$ [0; 2] $$.
   Критическая точка $$ x=1 $$ попадает в отрезок. Точка $$ x=-1 $$ не попадает.
5. Шаг 5: Вычисляем значения функции в критической точке $$ x=1 $$ и на концах отрезка $$ x=0 $$ и $$ x=2 $$.
   $$ y(0) = 0^3 - 3(0) + 23 = 23 $$.
   $$ y(1) = 1^3 - 3(1) + 23 = 1 - 3 + 23 = 21 $$.
   $$ y(2) = 2^3 - 3(2) + 23 = 8 - 6 + 23 = 25 $$.
6. Шаг 6: Сравниваем полученные значения: $$ 23, 21, 25 $$. Наименьшее значение — $$ 21 $$.

Ответ: 21