2. Решите неравенство: sin2x ≤ \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Решение:

Решим неравенство \( \sin(2x) \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).

На единичной окружности значения \( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) достигаются при \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) и \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \).

Неравенство \( \sin(\alpha) \le \frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется для дуги от \( \frac{3\pi}{4} \) до \( \frac{\pi}{4} + 2\pi \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \).

Значит, \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Разделим все части на 2:

\[ \frac{3\pi}{8} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{8} + \pi + \pi k \]

\[ \frac{3\pi}{8} + \pi k \le x \le \frac{9\pi}{8} + \pi k \]

Ответ: \( \left[ \frac{3\pi}{8} + \pi k; \frac{9\pi}{8} + \pi k \right], k \in \mathbb{Z} \).