8. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 3 \\ x + y = 12 \end{cases}\)

Решение:

Данная система уравнений:

\(\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 3 \\ x + y = 12 \end{cases}\)

Из первого уравнения, используя свойства логарифмов ( \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \)), получаем:

\[ \log_3 (x \cdot y) = 3 \]

По определению логарифма, это означает:

\[ x \cdot y = 3^3 \]

\[ x \cdot y = 27 \]

Теперь у нас есть новая система:

\(\begin{cases} x \cdot y = 27 \\ x + y = 12 \end{cases}\)

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 12 - x \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x (12 - x) = 27 \]

\[ 12x - x^2 = 27 \]

\[ x^2 - 12x + 27 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), есть два корня:

\[ x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \).

Если \( x_1 = 9 \), то \( y_1 = 12 - x_1 = 12 - 9 = 3 \).

Если \( x_2 = 3 \), то \( y_2 = 12 - x_2 = 12 - 3 = 9 \).

Проверим, что оба решения удовлетворяют условиям \( x>0 \) и \( y>0 \) для логарифмов. Оба решения подходят.

Ответ: \( (9; 3) \) и \( (3; 9) \).