4. Материальная точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = -\frac{1}{3} t^3 + t^2 + 5t + 18 \), где \( x \) — расстояние от точки отсчёта (в метрах), \( t \) — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени \( t = 2 \) с.

Решение:

Скорость \( v(t) \) является производной от координаты \( x(t) \) по времени \( t \).

Найдем производную от \( x(t) \):

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} \left( -\frac{1}{3} t^3 + t^2 + 5t + 18 \right) \]

\[ v(t) = -\frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 2t + 5 = -t^2 + 2t + 5 \]

Теперь найдем скорость в момент времени \( t = 2 \) с:

\[ v(2) = -(2)^2 + 2(2) + 5 = -4 + 4 + 5 = 5 \]

Ответ: 5 м/с.