7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 2x + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 2 \).

Решение:

Данная фигура ограничена параболой \( y = x^2 - 2x + 1 \), осью \( x \) ( \( y=0 \)) и вертикальной прямой \( x=2 \).

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью \( x \), приравняв \( y=0 \):

\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Его дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \). Значит, есть один корень:

\[ x = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

Таким образом, парабола касается оси \( x \) в точке \( x=1 \). Вершина параболы находится в точке \( (1, 0) \).

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этой параболой, осью \( x \) и прямой \( x=2 \). График показывает, что функция \( y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \) неотрицательна на промежутке \( [1, 2] \).

Площадь \( S \) вычисляется как интеграл от функции \( y=(x-1)^2 \) в пределах от \( x=1 \) до \( x=2 \).

\[ S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (x^2 - 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x = \frac{x^3}{3} - x^2 + x \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} - 4 + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \frac{1}{3} \]

\[ S = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8 - 6 - 1}{3} = \frac{1}{3} \]

Ответ: \( \frac{1}{3} \) кв. ед.