9. При каких значениях параметра \( k \) произведение корней квадратного уравнения \( x^2 + 3x + (k^2 - 8k + 15) = 0 \) равно нулю?

Решение:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) произведение корней \( x_1 \) и \( x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \).

В данном уравнении \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = k^2 - 8k + 15 \).

По условию, произведение корней равно нулю:

\[ x_1 \cdot x_2 = 0 \]

Следовательно, \( \frac{c}{a} = 0 \).

\[ \frac{k^2 - 8k + 15}{1} = 0 \]

\[ k^2 - 8k + 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( k \). Найдем дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]

Найдем корни \( k \):

\[ k_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ k_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Для существования корней квадратного уравнения, дискриминант исходного уравнения должен быть неотрицателен. Дискриминант равен \( D = 3^2 - 4(1)(k^2 - 8k + 15) = 9 - 4(k^2 - 8k + 15) \).

При \( k=5 \): \( D = 9 - 4(5^2 - 8 \times 5 + 15) = 9 - 4(25 - 40 + 15) = 9 - 4(0) = 9 > 0 \). Корни существуют.

При \( k=3 \): \( D = 9 - 4(3^2 - 8 \times 3 + 15) = 9 - 4(9 - 24 + 15) = 9 - 4(0) = 9 > 0 \). Корни существуют.

Ответ: \( k=3 \) или \( k=5 \).