2. \(\sqrt{3x+1} = x-3\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{3x+1}\right)^2 = (x-3)^2 \]

\[ 3x+1 = x^2 - 6x + 9 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 6x + 9 - 3x - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 9x + 8 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Проверим корни. Условие \( x-3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \).

Для \( x=8 \): \(\sqrt{3\cdot8+1} = \sqrt{24+1} = \sqrt{25} = 5\) и \( 8-3 = 5 \). \( 5=5 \). Подходит.

Для \( x=1 \): \(\sqrt{3\cdot1+1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\) и \( 1-3 = -2 \). \( 2 \ne -2 \). Не подходит.

Ответ: \( x = 8 \).