5. \(\sqrt{x+1} = x-5\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{x+1}\right)^2 = (x-5)^2 \]

\[ x+1 = x^2 - 10x + 25 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 10x + 25 - x - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 11x + 24 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Проверим корни. Условие \( x-5 \ge 0 \), то есть \( x \ge 5 \).

Для \( x=8 \): \(\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3\) и \( 8-5 = 3 \). \( 3=3 \). Подходит.

Для \( x=3 \): \(\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\) и \( 3-5 = -2 \). \( 2 \ne -2 \). Не подходит.

Ответ: \( x = 8 \).