4. \(\sqrt{x} = \sqrt{x^2-x-3}\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{x}\right)^2 = \left(\sqrt{x^2-x-3}\right)^2 \]

\[ x = x^2 - x - 3 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - x - 3 - x = 0 \]

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим корни. Необходимо, чтобы под корнями были неотрицательные числа. \(x \ge 0\) и \(x^2-x-3 \ge 0\).

Для \( x=3 \): \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3^2-3-3} = \sqrt{9-3-3} = \sqrt{3}\). \(\sqrt{3} = \sqrt{3}\). Подходит.

Для \( x=-1 \): \(\sqrt{-1}\) — не имеет действительного значения. Не подходит.

Ответ: \( x = 3 \).