3. \(\sqrt{2x+1} = \sqrt{x^2-2x+4}\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{2x+1}\right)^2 = \left(\sqrt{x^2-2x+4}\right)^2 \]

\[ 2x+1 = x^2 - 2x + 4 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 2x + 4 - 2x - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Проверим корни:

При \( x=3 \): \(\sqrt{2\cdot3+1} = \sqrt{6+1} = \sqrt{7}\) и \(\sqrt{3^2-2\cdot3+4} = \sqrt{9-6+4} = \sqrt{7}\). \(\sqrt{7} = \sqrt{7}\). Подходит.

При \( x=1 \): \(\sqrt{2\cdot1+1} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}\) и \(\sqrt{1^2-2\cdot1+4} = \sqrt{1-2+4} = \sqrt{3}\). \(\sqrt{3} = \sqrt{3}\). Подходит.

Ответ: \( x = 3, x = 1 \).