6. \(\sqrt{2x+3} = 6-x\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left(\sqrt{2x+3}\right)^2 = (6-x)^2 \]

\[ 2x+3 = 36 - 12x + x^2 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ x^2 - 12x + 36 - 2x - 3 = 0 \]

\[ x^2 - 14x + 33 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{14 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

\[ x_2 = \frac{14 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Проверим корни. Условие \( 6-x \ge 0 \), то есть \( x \le 6 \).

Для \( x=11 \): \(\sqrt{2\cdot11+3} = \sqrt{22+3} = \sqrt{25} = 5\) и \( 6-11 = -5 \). \( 5 \ne -5 \). Не подходит.

Для \( x=3 \): \(\sqrt{2\cdot3+3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3\) и \( 6-3 = 3 \). \( 3=3 \). Подходит.

Ответ: \( x = 3 \).