2) Тіло рухається за законом S(t) = t^3/3 - 3t^2 + 2t - 8, де S вимірюється в метрах, час t – у секундах. Знайдіть значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 6 м/с

Решение:

Скорость является производной от пути по времени, то есть \( v(t) = S'(t) \).

Найдем производную функции пути:

\( S(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 2t - 8 \)

\( S'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) - \frac{d}{dt}(3t^2) + \frac{d}{dt}(2t) - \frac{d}{dt}(8) \)

\( S'(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 3 \cdot 2t + 2 - 0 \)

\( S'(t) = t^2 - 6t + 2 \)

По условию, мгновенная скорость равна 6 м/с, значит, \( S'(t) = 6 \).

\( t^2 - 6t + 2 = 6 \)

\( t^2 - 6t - 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52 \).

\( t = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 3 \pm \sqrt{13} \).

Так как время \( t \) должно быть положительным, оба корня подходят:

\( t_1 = 3 + \sqrt{13} \)

\( t_2 = 3 - \sqrt{13} \) (приблизительно \( 3 - 3.6 = -0.6 \), но время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не подходит, если мы рассматриваем физический смысл)

Если рассматривать математическую задачу без привязки к реальному времени, оба значения \( t \) могут быть решением. Однако, в контексте физического движения, время \( t \) должно быть неотрицательным. \( \sqrt{13} \) примерно равно 3.6, поэтому \( 3 - \sqrt{13} \) отрицательно.

Ответ: t = 3 + \(\sqrt{13}\) с