4) Площа прямокутника 25 м². Якими повинні бути сторони цього прямокутника, щоб його периметр був найменшим? А) Задайте формулою функцію для якої необхідно буде знайти точку мінімуму. Б) Знайдіть довжини сторін прямокутника, що задовольняють умову завдання.

Решение:

А) Задание функции для минимума периметра

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). По условию, площадь \( S = ab = 25 \) м².

Периметр прямоугольника \( P = 2(a+b) \).

Выразим одну сторону через другую, используя площадь: \( b = \frac{25}{a} \).

Подставим это в формулу периметра:

\( P(a) = 2(a + \frac{25}{a}) \)

Функция, для которой необходимо найти точку минимума, это периметр, зависящий от одной стороны \( a \): \( P(a) = 2a + \frac{50}{a} \).

Б) Нахождение длин сторон

Чтобы найти минимум функции \( P(a) \), найдем её производную и приравняем к нулю:

\( P'(a) = \frac{d}{da}(2a + 50a^{-1}) \)

\( P'(a) = 2 + 50(-1)a^{-2} = 2 - \frac{50}{a^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( 2 - \frac{50}{a^2} = 0 \)

\( 2 = \frac{50}{a^2} \)

\( 2a^2 = 50 \)

\( a^2 = 25 \)

\( a = \pm 5 \).

Так как длина стороны не может быть отрицательной, \( a = 5 \) м.

Теперь найдем \( b \):

\( b = \frac{25}{a} = \frac{25}{5} = 5 \) м.

Проверим, что это минимум, найдя вторую производную:

\( P''(a) = \frac{d}{da}(2 - 50a^{-2}) = -50(-2)a^{-3} = \frac{100}{a^3} \).

При \( a = 5 \), \( P''(5) = \frac{100}{5^3} > 0 \), что подтверждает минимум.

Ответ: А) P(a) = 2a + 50/a. Б) Стороны прямоугольника должны быть 5 м и 5 м (квадрат).