4) Якими мають бути сторони прямокутника з периметром 80 м, щоб його площа була найбільшою? А) Задайте формулою функцію для якої необхідно буде знайти точку максимуму. Б) Знайдіть довжини сторін прямокутника, що задовольняють умову завдання.

Решение:

А) Задание функции для максимума площади

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Периметр \( P = 2(a+b) = 80 \) м.

Отсюда \( a+b = 40 \), и \( b = 40 - a \).

Площадь прямоугольника \( S = ab \).

Подставим \( b \) в формулу площади:

\( S(a) = a(40 - a) \)

\( S(a) = 40a - a^2 \).

Функция, для которой необходимо найти точку максимума, это площадь, зависящая от одной стороны \( a \): \( S(a) = 40a - a^2 \).

Б) Нахождение длин сторон

Чтобы найти максимум функции \( S(a) \), найдем её производную и приравняем к нулю:

\( S'(a) = \frac{d}{da}(40a - a^2) = 40 - 2a \).

Приравняем производную к нулю:

\( 40 - 2a = 0 \)

\( 2a = 40 \)

\( a = 20 \) м.

Теперь найдем \( b \):

\( b = 40 - a = 40 - 20 = 20 \) м.

Проверим, что это максимум, найдя вторую производную:

\( S''(a) = \frac{d}{da}(40 - 2a) = -2 \).

Так как \( S''(a) = -2 < 0 \), это подтверждает, что точка \( a = 20 \) является максимумом.

Ответ: А) S(a) = 40a - a². Б) Стороны прямоугольника должны быть 20 м и 20 м (квадрат).