5) Дослідіть функцію f(x) = x³ - 3x² + 12 на парність, проміжки монотонності, знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції. Побудуйте графік цієї функції.

Исследование функции f(x) = x³ - 3x² + 12

1. Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

2. Четность/нечетность:

Проверим \( f(-x) \):

\( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 12 = -x^3 - 3x^2 + 12 \).

Так как \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) и \( -f(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Найдем первую производную:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 12) = 3x^2 - 6x \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 6x = 0 \)

\( 3x(x - 2) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Определим знаки производной на интервалах:

• \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) (функция возрастает).
• \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) (функция убывает).
• \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) (функция возрастает).

Промежутки монотонности:

• Возрастает на \( (-\infty; 0] \) и \( [2; +\infty) \).
• Убывает на \( [0; 2] \).

Точки экстремума:

• В точке \( x = 0 \) происходит смена знака производной с '+' на '-', значит, это точка локального максимума.
• В точке \( x = 2 \) происходит смена знака производной с '-' на '+', значит, это точка локального минимума.

Экстремумы функции:

• Максимум: \( f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 12 = 12 \). Точка максимума: \( (0; 12) \).
• Минимум: \( f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 12 = 8 - 12 + 12 = 8 \). Точка минимума: \( (2; 8) \).

4. Построение графика:

Используя найденные точки и информацию о монотонности, построим примерный график.

Ответ: Функция нечетная/четная - нет. Промежутки возрастания: (-∞; 0] и [2; +∞). Промежутки убывания: [0; 2]. Точка максимума: (0; 12), экстремум: 12. Точка минимума: (2; 8), экстремум: 8.