3) Знайдіть похідну функції: f(x) = √x(4x - 2)

Решение:

Сначала упростим функцию, раскрыв скобки:

\( f(x) = \sqrt{x}(4x - 2) = x^{1/2}(4x - 2) = 4x^{1/2} \cdot x^1 - 2x^{1/2} = 4x^{3/2} - 2x^{1/2} \).

Теперь найдем производную, используя правило степени \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^{3/2}) - \frac{d}{dx}(2x^{1/2}) \)

\( f'(x) = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} \)

\( f'(x) = 6x^{1/2} - 1x^{-1/2} \)

\( f'(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Можно привести к общему знаменателю:

\( f'(x) = \frac{6\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{6x - 1}{\sqrt{x}} \).

Ответ: f'(x) = 6\(\sqrt{x}\) - \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)
или f'(x) = \(\frac{6x - 1}{\sqrt{x}}\)