5) Дослідіть функцію f(x) = 2x³ - 6x - 2 на парність, проміжки монотонності, знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції. Побудуйте графік цієї функції.

Исследование функции f(x) = 2x³ - 6x - 2

1. Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

2. Четность/нечетность:

Проверим \( f(-x) \):

\( f(-x) = 2(-x)^3 - 6(-x) - 2 = -2x^3 + 6x - 2 \).

Так как \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) и \( -f(x) \), функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Найдем первую производную:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x - 2) = 6x^2 - 6 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 6x^2 - 6 = 0 \)

\( 6x^2 = 6 \)

\( x^2 = 1 \)

Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Определим знаки производной на интервалах:

• \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( f'(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 6(4) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \) (функция возрастает).
• \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 < 0 \) (функция убывает).
• \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 6(2)^2 - 6 = 6(4) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \) (функция возрастает).

Промежутки монотонности:

• Возрастает на \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \).
• Убывает на \( [-1; 1] \).

Точки экстремума:

• В точке \( x = -1 \) происходит смена знака производной с '+' на '-', значит, это точка локального максимума.
• В точке \( x = 1 \) происходит смена знака производной с '-' на '+', значит, это точка локального минимума.

Экстремумы функции:

• Максимум: \( f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) - 2 = -2 + 6 - 2 = 2 \). Точка максимума: \( (-1; 2) \).
• Минимум: \( f(1) = 2(1)^3 - 6(1) - 2 = 2 - 6 - 2 = -6 \). Точка минимума: \( (1; -6) \).

4. Построение графика:

Используя найденные точки и информацию о монотонности, построим примерный график.

Ответ: Функция нечетная/четная - нет. Промежутки возрастания: (-∞; -1] и [1; +∞). Промежутки убывания: [-1; 1]. Точка максимума: (-1; 2), экстремум: 2. Точка минимума: (1; -6), экстремум: -6.