2 вариант. 6. Решите треугольник ABC, если ∠B = 30°, ∠C = 105°, AC = 4 см. Найдите все элементы и площадь.

Найдём третий угол: \(\angle A=180°-30°-105°=45°\). Обозначим \(a=BC\), \(b=AC=4\) см, \(c=AB\).

По теореме синусов \(\frac{b}{\sin B}=2R\), поэтому \(2R=\frac4{\sin30°}=8\) см.

Тогда \(a=8\sin45°=4\sqrt2\) см, а \(c=8\sin105°=2(\sqrt6+\sqrt2)\) см.

Площадь:

\(S=\frac12 ac\sin B=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot2(\sqrt6+\sqrt2)\cdot\frac12=4\sqrt3+4\) см².

Ответ: \(\angle A=45°\), \(BC=4\sqrt2\) см, \(AC=4\) см, \(AB=2(\sqrt6+\sqrt2)\) см, \(S=4\sqrt3+4\) см².