2. Вычислите 2 arccos(−√3/2) + arcctg1

Решение:

Сначала найдём значения арккосинуса и арккотангенса:

• \( \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \): это угол \( \alpha \), для которого \( \cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( 0 \le \alpha \le \pi \). Этот угол равен \( \frac{5\pi}{6} \).
• \( \mathrm{arcctg} 1 \): это угол \( \beta \), для которого \( \mathrm{ctg}\beta = 1 \) и \( 0 < \beta < \pi \). Этот угол равен \( \frac{\pi}{4} \).

Теперь подставим найденные значения в выражение:

\[ 2 \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \mathrm{arcctg} 1 = 2 \cdot \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \]\[ = \frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{5\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{20\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12} \]

Ответ: \( \frac{23\pi}{12} \).