9. Решите неравенство (методом интервалов) (3х-5)(5+x) / (x-4) ≤ 0

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{(3x-5)(5+x)}{x-4} \le 0 \) методом интервалов найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:
• \( 3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \)
• \( 5 + x = 0 \implies x = -5 \)
2. Корень знаменателя:
• \( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)

Отметим эти точки на числовой оси: -5, 5/3, 4. Они разбивают числовую ось на четыре интервала:

• \( (-\infty; -5) \)
• \( (-5; \frac{5}{3}) \)
• \( (\frac{5}{3}; 4) \)
• \( (4; \infty) \)

Определим знак выражения \( \frac{(3x-5)(5+x)}{x-4} \) в каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -5) \): Возьмём \( x = -6 \). \( \frac{(3(-6)-5)(5+(-6))}{-6-4} = \frac{(-18-5)(-1)}{-10} = \frac{(-23)(-1)}{-10} = \frac{23}{-10} < 0 \) (минус).
• Интервал \( (-5; \frac{5}{3}) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{(3(0)-5)(5+0)}{0-4} = \frac{(-5)(5)}{-4} = \frac{-25}{-4} > 0 \) (плюс).
• Интервал \( (\frac{5}{3}; 4) \): Возьмём \( x = 2 \). \( \frac{(3(2)-5)(5+2)}{2-4} = \frac{(6-5)(7)}{-2} = \frac{(1)(7)}{-2} = \frac{7}{-2} < 0 \) (минус).
• Интервал \( (4; \infty) \): Возьмём \( x = 5 \). \( \frac{(3(5)-5)(5+5)}{5-4} = \frac{(15-5)(10)}{1} = \frac{(10)(10)}{1} = 100 > 0 \) (плюс).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \). Значит, подходят интервалы, где знак минус, а также точки, где числитель равен нулю (корни числителя).

Точка \( x = 4 \) (корень знаменателя) не включается в решение, так как на ноль делить нельзя.

Решение: \( x \in (-\infty; -5] \cup [\frac{5}{3}; 4) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -5] \cup [\frac{5}{3}; 4) \).