7. Найдите производную функции y = x⁴ - 2x³ + 7 sin x - 1/x⁴

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = x^4 - 2x^3 + 7 ​\sin x - \frac{1}{x^4} \) воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
• Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Производная константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции: \( (cf(x))' = c f'(x) \).
• Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных.

Перепишем \( \frac{1}{x^4} \) как \( x^{-4} \).

Теперь найдём производную по частям:

• \( (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3 \)
• \( (-2x^3)' = -2 \cdot (x^3)' = -2 \cdot 3x^{3-1} = -6x^2 \)
• \( (7 ​\sin x)' = 7 \cdot (\sin x)' = 7 \cos x \)
• \( (-x^{-4})' = -(-4)x^{-4-1} = 4x^{-5} = \frac{4}{x^5} \)

Сложим полученные производные:

\[ y' = 4x^3 - 6x^2 + 7 ​\cos x + \frac{4}{x^5} \]

Ответ: \( y' = 4x^3 - 6x^2 + 7 ​\cos x + \frac{4}{x^5} \).