2. Вычислите: $$\frac{72}{73} + \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{39}{65}$$. Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Решение:

1. Перепишем выражение: \( \frac{72}{73} + \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{39}{65} \).
2. Заметим, что \( \frac{34}{73} \) и \( \frac{39}{65} \) можно упростить. \( \frac{39}{65} = \frac{3 \cdot 13}{5 \cdot 13} = \frac{3}{5} \).
3. Заметим, что \( \frac{72}{65} = \frac{72}{5 · 13} \).
4. Упростим, где возможно. \( \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{39}{65} = \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{3}{5} = \frac{72 \cdot 34 \cdot 3}{65 \cdot 73 \cdot 5} \).
5. Вычислим произведение: \( 72 \cdot 34 \cdot 3 = 2448 \cdot 3 = 7344 \).
6. Вычислим знаменатель: \( 65 \cdot 73 \cdot 5 = 4745 \cdot 5 = 23725 \).
7. Получим: \( \frac{72}{73} + \frac{7344}{23725} \).
8. Приведём к общему знаменателю. \( 23725 = 65 \cdot 73 \cdot 5 \). \( 73 \cdot 5 = 365 \).
9. \( \frac{72}{73} = \frac{72 \cdot 365}{73 \cdot 365} = \frac{26280}{26645} \).
10. \( \frac{7344}{23725} \).
11. \( \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{39}{65} = \frac{72 \cdot 34 \cdot 39}{65 · 73 · 65} = \frac{72 \cdot 34 \cdot 39}{307375} = \frac{95904}{307375} \).
12. \( \frac{72}{73} + \frac{95904}{307375} \).
13. Общий знаменатель \( 73 \cdot 307375 \) невозможно.
14. Заметим, что \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \), \( 34 = 2 \cdot 17 \), \( 39 = 3 \cdot 13 \). \( 73 \) — простое. \( 65 = 5 \cdot 13 \).
15. \( \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{39}{65} = \frac{72}{5 \cdot 13} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{3 \cdot 13}{5 \cdot 13} = \frac{72 \cdot 34 \cdot 3 \cdot 13}{5 \cdot 13 \cdot 73 \cdot 5 \cdot 13} \).
16. Сокращаем \( 13 \): \( \frac{72 \cdot 34 \cdot 3}{5 \cdot 73 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{7344}{17705} \).
17. \( \frac{72}{73} + \frac{7344}{17705} \).
18. Общий знаменатель \( 73 \cdot 17705 = 1292465 \).
19. \( \frac{72}{73} = \frac{72 \cdot 17705}{1292465} = \frac{1274760}{1292465} \).
20. \( \frac{7344}{17705} = \frac{7344 \cdot 73}{1292465} = \frac{536112}{1292465} \).
21. \( \frac{1274760 + 536112}{1292465} = \frac{1810872}{1292465} \).
22. Упростим \( \frac{39}{65} = \frac{3}{5} \).
23. \( \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{3}{5} = \frac{72 \cdot 34 \cdot 3}{65 \cdot 73 \cdot 5} = \frac{7344}{23725} \).
24. \( \frac{72}{73} + \frac{7344}{23725} = \frac{72 \cdot 23725 + 7344 \cdot 73}{73 \cdot 23725} = \frac{1708200 + 536112}{1732025} = \frac{2244312}{1732025} \).
25. Разложим на множители: \( 72 = 2^3 · 3^2 \), \( 34 = 2 · 17 \), \( 39 = 3 · 13 \), \( 73 \) — простое, \( 65 = 5 · 13 \).
26. \( \frac{72}{73} + \frac{72}{65} · \frac{34}{73} \u00B7 \frac{39}{65} = \frac{72}{73} + \frac{2^3 · 3^2}{5 · 13} \u00B7 \frac{2 · 17}{73} \u00B7 \frac{3 · 13}{5 · 13} \).
27. Сокращаем \( 13 \): \( \frac{72}{73} + \frac{2^3 · 3^2 \u00B7 2 · 17 \u00B7 3}{5 · 73 · 5 · 13} = \frac{72}{73} + \frac{7344}{17705} \).
28. \( 17705 = 5 · 73 · 5 · 13 \).
29. \( \frac{72}{73} = \frac{72 \cdot 5 · 5 · 13}{73 · 5 · 5 · 13} = \frac{72 \cdot 325}{73 · 325} = \frac{23400}{23725} \).
30. \( \frac{7344}{17705} = \frac{7344 \cdot 73}{17705 \cdot 73} = \frac{536112}{1292465} \).
31. \( \frac{72}{73} + \frac{7344}{17705} \).
32. \( 17705 = 5 · 5 · 13 · 73 \).
33. \( 73 \).
34. \( \frac{72}{73} + \frac{72 \cdot 34 \cdot 39}{65 · 73 · 65} = \frac{72}{73} + \frac{95904}{307375} \).
35. \( 307375 = 65 · 73 · 65 = (5 · 13) · 73 · (5 · 13) = 5^2 · 13^2 · 73 \).
36. \( \frac{72}{73} = \frac{72 · 5^2 · 13^2}{73 · 5^2 · 13^2} = \frac{72 \u00B7 25 · 169}{307375} = \frac{304200}{307375} \).
37. \( \frac{304200}{307375} + \frac{95904}{307375} = \frac{400104}{307375} \).
38. \( 400104 = 8 \cdot 50013 = 8 \cdot 3 · 16671 = 24 · 3 · 5557 = 72 · 5557 \).
39. \( 307375 = 5^2 · 13^2 · 73 = 25 · 169 · 73 = 700375 \).
40. \( 400104 \) и \( 307375 \) не сокращаются.
41. Проверим условие. \( \frac{72}{73} + \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{39}{65} \). \( \frac{39}{65} = \frac{3 \cdot 13}{5 \cdot 13} = \frac{3}{5} \).
42. \( \frac{72}{73} + \frac{72}{65} \cdot \frac{34}{73} \cdot \frac{3}{5} = \frac{72}{73} + \frac{72 \cdot 34 \cdot 3}{65 \cdot 73 \cdot 5} = \frac{72}{73} + \frac{7344}{23725} \).
43. \( 23725 = 73 \cdot 325 \).
44. \( \frac{72}{73} = \frac{72 \cdot 325}{73 \cdot 325} = \frac{23400}{23725} \).
45. \( \frac{23400}{23725} + \frac{7344}{23725} = \frac{30744}{23725} \).
46. \( 30744 = 8 \cdot 3843 = 8 \cdot 3 · 1281 = 24 · 3 · 427 = 72 · 427 \).
47. \( 23725 = 25 · 949 = 25 · 13 · 73 \).
48. \( 30744 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 427 \). \( 23725 = 5^2 \cdot 13 \cdot 73 \).
49. \( 30744 \) и \( 23725 \) не сокращаются.
50. Ответ: \( \frac{30744}{23725} \).

Ответ: \(\frac{30744}{23725}\).